判決書下來就會開始計算刑期嗎

不是。依據我國相關法律的規定，人民法院作出的判決書下來後，並不是開始計算刑期的，而是從判決執行之日起開始計算刑期。
《中華人民共和國刑法》
第四十一條【管制刑期的計算和折抵】管制的刑期，從判決執行之日起計算;判決執行以前先行羈押的，羈押一日折抵刑期二日。
第四十四條【拘役刑期的計算和折抵】拘役的刑期，從判決執行之日起計算;判決執行以前先行羈押的，羈押一日折抵刑期一日。
第四十七條【有期徒刑刑期的計算與折抵】有期徒刑的刑期，從判決執行之日起計算;判決執行以前先行羈押的，羈押一日折抵刑期一日。
第五十一條【死緩期間及減為有期徒刑的刑期計算】死刑緩期執行的期間，從判決確定之日起計算。死刑緩期執行減為有期徒刑的刑期，從死刑緩期執行期滿之日起計算。