哪個機關有處理家庭暴力的義務與職責

公安機關。
家庭暴力受害人及其法定代理人、近親屬可以向公安機關報案或者依法向人民法院起訴。
公安機關接到家庭暴力報案後應當及時出警，制止家庭暴力，按照有關規定調查取證，協助受害人就醫、鑑定傷情。
無民事行爲能力人、限制民事行爲能力人因家庭暴力身體受到嚴重傷害、面臨人身安全威脅或者處於無人照料等危險狀態的，公安機關應當通知並協助民政部門將其安置到臨時庇護場所、救助管理機構或者福利機構。
《中華人民共和國反家庭暴力法》第十三條
《中華人民共和國反家庭暴力法》第十五條